Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

РАБОТА.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Задача 4.2. Тело массы m брошено со скоростью u0 под углом a к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти мгновенную мощность P(t), развиваемую при полете тела силой тяжести, действующей на тело.

Решение. Для вычисления мощности воспользуемся соотношением:

P = (F,v).

В данном случае F = mg, поэтому:

a = g, v = v0 + gt,

P = (F,v) = (mg, v0 + gt) = (mg, v0) + mg2t.

Рассмотрим первое слагаемое в полученном результате: (mg, v0). Перепишем его в следующем виде:

(mg, v0) = mgυ0×cos(a+p/2) = – mgυ0× sina,

тогда

P = mg×(gt – υ0×sina).

Проанализируем полученный результат.

Как видно из полученного выражения для мощности P(t) она отрицательна при t < υ0sina/g и положительна при t > υ0sina/g.

Что означает тот факт, что при малых t мощность P(t) < 0, а при больших t, наоборот, P(t) < 0? Для ответа на этот вопрос учтем, что работа силы, действующей на тело, равна приращению его кинетической энергии:

dA = dT,

или

Отсюда ясно, что если P < 0, то и dT/dt < 0, т.е. кинетическая энергия убывает и, наоборот, при Р > 0 также и dT/dt > 0 т.е. кинетическая энергия возрастает. Следовательно, при всех t < υ0×sina/g тело движется замедляясь, а при t > υ0sina/g скорость тела растет. Ясно также, что скорость тела уменьшается, пока тело поднимается, а при уменьшении высоты скорость тела растет. Все сказанное иллюстрируем рис. 4.2.

Рис. 4.2

Задача 4.3. Гусеничный трактор движется со скоростью υ. Найти кинетическую энергию гусеницы трактора, если ее масса равна М.

Решение. Основная сложность задачи состоит в том, что разные части гусеницы движутся относительно земли с разными скоростями, в частности, нижняя часть гусеницы, соприкасающаяся с землей, покоится. Однако кинетическую энергию гусеницы можно найти и без рассмотрения скоростей ее различных частей. Для этого воспользуемся теоремой Кенига. Согласно этой теореме кинетическую энергию гусеницы Т можно представить в виде суммы

,

где М – масса гусеницы, Vци – скорость ее центра инерции, а Т0 – кинетическая энергия гусеницы в системе отсчета, связанной с ее центром инерции. Нетрудно видеть, что гусеница как целое не перемещается относительно трактора и поэтому скорость центра инерции гусеницы Vци совпадает со скоростью трактора υ, поэтому:

.

Найдем теперь Т0. Для этого рассмотрим движение гусеницы относительно ее центра инерции (т.е. с точки зрения тракториста). Так как гусеница нерастяжима, то все ее части движутся относительно трактора с одинаковой по величине скоростью. Эту скорость легко найти. Она равна скорости трактора υ. Действительно, относительно трактора земля движется навстречу ему со скоростью υ. Часть гусеницы, соприкасающаяся с землей, покоится относительно земли (нет пробуксовки), а следовательно, относительно трактора также движется со скоростью υ. Но так как все части гусеницы имеют относительно трактора одинаковую скорость, то эта скорость как раз и равна υ. После этого нетрудно понять, что

Задача 4.4. На горизонтальной гладкой поверхности находится доска массы М. Бруску массы m, находящемуся на поверхности доски сообщили скорость υ0 вдоль доски. Поверхность доски, по которой движется брусок шероховатая, так что движение бруска происходит с трением. Доска достаточно длинная, так что брусок всё время остаётся на поверхности доски.

Найти скорость тел после того как скольжение бруска по доске прекратится.

Найти приращение энергии системы.

Решение.

Для ответа на этот вопрос достаточно применить закон сохранения импульса. В начальный момент времени импульс системы был равен P1= mυ0, так как доска покоилась.

Рано или поздно оба тела будут двигаться вместе со скоростью υ1. Поэтому импульс системы станет равным:

P2 = (m+M)υ1

Так как импульс системы сохраняется (почему, ответьте сами), то P1 = P2, откуда:

mυ0=(m+M)υ1,

.

Найдем теперь изменение кинетической энергии системы. В начальный момент двигался только брусок:

,

по окончании скольжения бруска оба тела движутся с одинаковой скоростью:

.

Кинетическая энергия уменьшилась, причём это уменьшение совершенно не зависит от конкретного вида сил, действующих между бруском и доской. Убыль кинетической энергии (Т1 – Т2) равна:

Как видим, решение очень простое и короткое. А теперь попробуем ответить на такой наивный вопрос: почему в этой задаче импульс сохраняется, а кинетическая энергия – нет?

Наивный ответ состоит в том, что энергию уменьшают силы трения.  Но ведь это не ответ! Действительно, силы трения, действующие между бруском и доской, тормозят брусок, но они же сообщают движение доске. При этом импульс системы не изменяется. Почему же тогда брусок теряет энергии больше, чем получает её доска, ведь передача энергии от бруска к доске происходит благодаря работе тех же сил трения? Для ответа на этот вопрос вспомним, что изменение импульса тела связано с силой, приложенной к нему, соотношением

или

.

Силы взаимодействия между бруском и доской равны по величине и противоположны по направлению (третий закон Ньютона) и действуют они одинаковое время. Тогда, если обозначить импульс бруска p1, а доски p2, то изменения этих величин за промежуток времени dt будут такими:

Здесь F – сила трения, действующая на брусок со стороны доски. На доску действует сила – F.

Как видим, насколько уменьшился импульс бруска за какое-то время, настолько же вырос импульс доски за это же самое время. Причина этого – третий закон Ньютона.

Что же касается приращения кинетической энергии, то оно определяется работой сил, приложенных к телу:

Т2 – Т1 = А12,

работа же пропорциональна перемещению тела.

Поскольку брусок двигался навстречу силе трения, то работа, совершённая над ним, была отрицательной. Доска же, не имея начальной скорости, двигалась в сторону действовавшей на неё силы трения. Поэтому работа силы трения над доской была положительной. Но брусок всё время двигался быстрее доски, их скорости сравнялись только в конце процесса торможения бруска. Поэтому перемещение бруска было больше перемещения доски (Рис. 4.3). Поэтому и величина работы, совершённой над бруском силой трения, была больше, чем работа, совершённая над доской. Поэтому брусок потерял энергии больше, чем её получила доска.

Рис. 4.3 

Найдём работу сил трения над бруском и доской, полагая, что силы эти остаются неизменными в процессе скольжения бруска по доске. Тогда брусок движется с отрицательным ускорением, величина которого равна

a1 = F/m,

ускорение доски

a2 = F/M,

скорость бруска

υб = υ0 – a1t,

скорость доски

υд = a2t.

По истечении некоторого времени t эти скорости сравняются и станут равными υ1:

υ0 – a1t = υ1,

a2t = υ1.

За это же время брусок и доска совершат перемещения s1 и s2:

При этом силы трения, действующие на брусок и доску, совершат различную работу:

Но Fdt = dp2, откуда за время t получаем

Ft = Mυ1,

тем самым:

Приращение кинетической энергии системы тел равно сумме работ над телами системы:

Мы пришли к тому же самому ответу, что был получен нами ранее из закона сохранения импульса. Но теперь результат полностью ясен: силой трения, приложенной к бруску, была совершена бóльшая по величине отрицательная работа, чем силой трения, приложенной к доске, которая совершила меньшую положительную работу.

Отметим вот какое ещё обстоятельство. Мы пользовались здесь понятием работы, которое строго говоря, было введено лишь для материальной точки. Здесь же речь шла о движении протяжённого тела – доски. В данном случае все точки доски двигались одинаково, поэтому её движение эквивалентно движению материальной точки, и понятие работы применимо и к доске в полной мере. Но в случае сложного движения тела, имеющего конечные размеры, разные точки тела движутся по-разному. Поэтому понятие работы и её связь с изменением кинетической энергии тела придётся уточнять. Более подробно об этом речь будет идти в разделе, посвящённом динамике твёрдого тела.

Примеры решения задач по физике