Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ИМПУЛЬС

Задача 3.2. Найти положение центра инерции следующих систем:

двух материальных точек, находящихся на некотором расстоянии друг от друга;

трех одинаковых материальных точек, находящихся в вершинах треугольника ABC;

однородного тонкого стержня;

прямоугольной пластинки;

фигуры, составленной из двух прямоугольников (слесарный угольник). В данном случае найти центр инерции без вычислений, геометрическими построениями.

Решение.

Совместим начало координат с одной из точек, скажем, точкой т1 (рис. 3.1). Тогда согласно определению:

Рис. 3.1

Таким образом, центр инерции двух частиц находится на отрезке, соединяющем эти точки. При этом расстояние от центра инерции до соответствующей точки обратно пропорционально её массе:

.

В частности, центр инерции двух одинаковых точек находится в середине отрезка, соединяющего эти точки.

Поместим начало координат в точку А, совместив его тем самым с одной из материальных точек. Пусть радиус-векторы двух других материальных точек будут r1 и r2, тогда радиус-вектор центра инерции запишется следующим образом:

.

Рис. 3.2

Полученный результат означает, что центр инерции (т. О на рис. 3.2) лежит на диагонали параллелограмма, построенного на векторах r1 и r2, на расстоянии 1/3 длины диагонали от вершины А. Но так как диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения D пополам, то AD является медианой треугольника ABC. При этом АО : ОD = 2 : 1.

Итак, центр инерции лежит на медиане треугольника ABC. Если мы выберем начало координат в точке В, то получим, что центр инерции лежит на другой медиане, делящей пополам сторону АС. Аналогично, поместив начало координат в точку С получим, что центр инерции лежит на третьей медиане. Таким образом, центр инерции системы, состоящей из трех одинаковых точек, лежит одновременно на трех медианах, т.е. находится в точке их пересечения.

Воспользуемся для ответа на этот вопрос результатом п.1 нашей задачи, для чего разобьем стержень на множество достаточно малых частей так, чтобы это разбиение было симметричным относительно середины стержня. «Достаточная малость» здесь понимается в том смысле, чтобы длина частей, на которые разбит стержень, была мала по сравнению с соответствующими расстояниями до середины стержня. Симметричность разбиения означает, что каждой частице с массой, скажем, Dm, находящейся на некотором расстоянии х правее центра стержня, соответствует такая же частица, находящаяся на таком же расстоянии х левее центра стержня. Так как центр инерции каждой такой пары частиц лежит в середине стержня, а весь стержень разбит лишь на такие пары, то центр инерции стержня лежит в его середине.

Рис. 3.3

Поместим начало координат в точку O пересечения диагоналей пластинки (рис. 3.3). Всякая прямая, проведённая через точку О, пересекает противоположные стороны пластинки в некоторых точках А и В. Точка О делит отрезок АВ на две равные части. Поэтому для всякой точки С на АО можно указать симметричную ей точку С' на ОВ. Центр инерции частиц, расположенных в этих точках, находится в точке О. Тем самым, центр инерции всей пластинки находится также в точке О.

Заметим, что точно такие же рассуждения можно привести для любого однородного тела, обладающего центром симметрии. Как видим, центр симметрии всегда является центром инерции однородного тела.

Предварительно заметим, что в случае, когда мы можем разбить систему точек на две части, для каждой из которых нам известна её масса и положение центра инерции, нахождение центра инерции всей системы сводится к задаче о местонахождении центра инерции двух материальных точек:

Здесь R1 и R2 – радиус-векторы центра инерции соответственно первой и второй части системы, а М1 и М2 – массы этих частей:

 

Рис. 3.4

Разобьём данную нам фигуру на два прямоугольника AA¢B¢B  и ACDD¢. Центр инерции каждого из прямоугольников лежит на пересечении их диагоналей в точках O и O¢. Следовательно, центр инерции всей фигуры лежит на отрезке OO¢.

Разобьём теперь данную нам фигуру на два других прямоугольника СС¢B¢B  и C¢DD¢A¢. Центр инерции каждого из этих прямоугольников лежит на пересечении их диагоналей в точках O1 и . Следовательно, центр инерции всей фигуры лежит на отрезке O1. Поскольку центр инерции определяется однозначным образом, то он принадлежит обоим отрезкам и расположен в точке их пересечения (рис. 3.4).

Рис. 3.5

Примеры решения задач по физике