Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Скалярное поле и его характеристики.

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Если М DR2, то поле наз. плоским, если МR3 - пространственным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(x,y) = C и поверхности уровня в пространстве U(x,y,z) = C 

С.п. можно представить как «слоистую» структуру, где значения поля постоянны в одном слое и меняются при переходе к соседнему слою. Различаются с.п. геометрической формой этих слоев и скоростью изменения значения при переходе от слоя к слою.

Пр. Температура неравномерно нагретого тела. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть T = а(x2 + y2 – z) , тогда поверхности уровня x2+y2 = z + C образуют семейство параболоидов вращения вокруг Oz. С ростом температуры чаша поднимается вдоль Oz. Тепло от каждого параболического слоя будет передаваться перпендикулярно к его поверхности.

Производная по направлению с.п.

Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором

= {cos , cos , cos}. Определим, как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M к произвольной точке M1.

Опр. Производной с.п. U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению  наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению

lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| =  при M M1 ( 20 )

Теорема. Если функция с.п. U(x,y,z) дифференцируема в некоторой области  и

= {cos , cos , cos}, то 

  =  cos  + cos  +  cos ( 21 )

Док-во. Отрезок |MM1| =  есть диагональ прямоугольного параллепипеда со сторонами  x, y, z. Он равен = . Координаты точки М1 можно записать в виде M1(x+x, y+y, z+z) = M1(x + cos , y + cos , z + cos).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+=+,

где lim  = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в ( 20 ) U/l = lim

и получим формулу ( 21 ).

Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении  = 2i – 4j + k .

*U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5 , U/y|M = x2|M = 1 , U/z|M = -3xz2|M = -3,

|| = *U/ = -5 2/ + 1 (-4)/  -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора  функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Классы интегрируемых функций (три теоремы без док.)

Классы интегрируемых функций.

Теорема №1

Если   определена на [a,в] и непрерывна, то   интегрируема [a,в].

Теорема №2

Если функция  монотонна и ограничена на [a,в], то  интегрируема на [a,в].

Теорема №3

Если ограниченная функция  на [a,в] имеет конечное число точек разрыва, то  интегрируема на [a,в].

Градиент скалярного поля. Структура выражения ( 21 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов  и  :  = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора.

Общие геометрические характеристики векторных полей. Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Ротор (вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль криво.

Простейшие векторные поля. а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 .

Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Криволинейный интеграл 2 рода. Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки.

Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода. Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 ).

Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 ) Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.

 Пример 2. Найдем линии уровня функции .

 Отметим, что функция определена на всей плоскости .

Для построения линий уровня надо для любого  найти множество точек плоскости, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению . Следовательно, если , то , а если , то .

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с-уровнем функции при c<0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0:

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0.


Производная функции в данном направлении