Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Пусть функция f(х, у) имеет в окрестности точки (а; b) непрерывные частные производные всех порядков до (n+1)-го включительно. Тогда в рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:

(1)

где

(0< <1).

В других обозначениях:

(2)

где

.

(3)

Частный случай формулы (1) при а=b=0 называется формулой Маклорена.

Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа переменных.

Пример. Найти приращение, получаемое функцией f(x, у)=х³-2у³+Зху при переходе от значений х=1, y=2 к значениям .

Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2). Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке (1; 2):

Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя найденные результаты в формулу (2), получим:

 

Экстремум функции нескольких переменных

1°. Определение экстремума функции.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) D.

Точка (x0;y0) называется точкой максимума функции z= f(x;y), если существует такая -окрестность точки (x0;y0), что для каждой точки (х;у), отличной от (x0;y0) из этой окрестности выполняется неравенство f(x;y) < f(x0;y0). На рисунке 12: N1 — точка максимума, a N2 — точка минимума функции z= f(x;y).

Рис. 12

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x0;y0),отличных от (x0;y0),из -окрестности точки (x0;y0) выполняется неравенство: f(x0;y0) > f(x0;y0).

Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом {минимумом) функции.

Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (x0;y0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x0;y0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

2°. Необходимые условия экстремума.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Геометрически равенства f'y(x0;y0) = 0 и f'y(x0;y0) = 0 означают, что в точке экстремума функции z = f(x; у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x; у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z = z0.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция  имеет максимум в точке О(0;0), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x;y) равны нулю, т. е. f'x = 0, f'y = 0, называется стационарной точкой функции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; 0) является критической (в ней  и  обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0;0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Стационарные точки находятся путем решения системы уравнений

fх (х, у) = 0, f'у(х,у) = 0

(1)

(необходимые условия экстремума).

Система (1) эквивалентна одному уравнению df(х, у)=0. В общем случае в точке экстремума Р(а, b) функции f(x, у) или df(x, y)=0, или df(а, b) не существует.

3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р(а; b) — стационарная точка функции f(х,у), т. е. df(а, b) = 0. Тогда:

а) если d2f (а, b) < 0 при , то f(а, b) есть максимум функции f (х, у);

б) если d2f (а, b) > 0 при , то f(а, b)есть минимум функции f (х,у);

в) если d2f (а, b) меняет знак, то f (а, b) не является экстремумом функции f (х, у).

Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть  и . Составим дискриминант Δ=AC — B².

Тогда:

1) если Δ > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а; b) а именно максимум, если A<0 (или С<0), и минимум, если A>0 (или С>0);

2) если Δ < 0, то экстремума в точке Р(а; b) нет;

3) если Δ=0, то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р(а; b) остается открытым (требуется дальнейшее исследование).

4°. Случай функции многих переменных. Для функции трех и большего числа переменных необходимые условия существования экстремума аналогичны условиям (1), а достаточные условия аналогичны условиям а), б), в) 3°.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=x³+3xy²-15x-12y.

Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):

или

Решая систему, получим четыре стационарные точки:

Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант Δ=AC — B² для каждой стационарной точки.

1) Для точки : , Δ=AC—B²=36-144<0. Значит в точке  экстремума нет.

2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28.

3) Для точки : A= -6, B=-12, С= -6; Δ = 36-144 <0. Экстремума нет.

4) Для точки Р4: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28.

5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f(х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(х, у) при наличии соотношения φ(х,у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа

F(x,y)=f(x,y)+ λφ(x,y),

где λ — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений

(2)

с тремя неизвестными х, у, λ, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений х, у, λ, полученной из (2) при условии, что dх и dу связаны уравнением

.

Именно, функция f(х,y) имеет условный максимум, если d²F< 0, и условный минимум, если d²F>0. В частности, если дискриминант Δ для функции F(х,у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(х, у), если A< 0 (или С< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0).

Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.

Пример. Найти экстремум функции z=6-4x-3y при условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению x²+y²=1.

Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты z плоскости z=6 - 4х - Зу для точек пересечения ее с цилиндром х2+у2=1.

Составляем функцию Лагранжа F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Имеем . Необходимые условия дают систему уравнений

решая которую найдем:

и

.

Так как

,

то

d²F=2λ(dx²+dy²).

Если  и , то d²F>0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум. Если  и , то d²F<0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.

Таким образом,

6°. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция z = f(x; у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках  своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области   функции z = f(x;y) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.

Пример Определить наибольшее и наименьшее значения функции

z=x²+y² -xy+x+y

в области

.

Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 13).

1) Найдем стационарные точки:

отсюда x= -1, y= -1; получаем точку М(-1; -1).

В точке М значение функции . Исследование на экстремум обязательно.

2) Исследуем функцию на границах области.

При х=0 имеем z=у²+у, и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке . Проведя исследование, найдем, что  в точке (0; -3);  в точке .

При у=0 имеем z=х²+х. Аналогично найдем, что  в точке (-3;0);  в точке .

Рис. 13

При х+у= -3 или у= -3 –х будем иметь z=3х²+9х+6.

Аналогично найдем, что  в точке ;  и совпадает с  и . На прямой х+у = -3 можно было бы исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного аргумента.

3) Сопоставляя все полученные значения функции z, заключаем, что в точках (0; -3) и (-3; 0);  в стационарной точке М.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций

Пример. Положительное число а требуется разбить на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а - х - у. Ищем максимум функции f(x,у)=xу(а - х - у).

По смыслу задачи функция f(x, у) рассматривается внутри замкнутого треугольника   (рис. 14).

Решая систему

получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку . Для нее проверяем выполнение достаточных условий. Имеем

.

Следовательно,

и .

Рис. 14.

Итак, в точке  функция достигает максимума.

Так как на контуре треугольника f(х,у)=0> то этот максимум будет наибольшим значением, т. е. произведение будет наибольшим, если  причем наибольшее значение равно .

Примечание. Задачу можно было решать методами условного экстремума, отыскивая максимум функции u=xyz при условии x+y+z=a.


Производная функции в данном направлении