Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Замена переменных в выражениях, содержащих частные производные.

Пример. Уравнение колебаний струны

преобразовать к новым независимым переменным , где , .

Решение. Выразим частные производные от u по х и y через частные производные от u по . Применяя формулы дифференцирования сложной функции

,

получим:

Дифференцируем вторично, применяя те же формулы:

Подставив в данное уравнение, будем иметь:

или

.

Пример. Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные u=х,  и за новую функцию .

Решение. Выразим частные производные  через частные производные . Для этого продифференцируем данные соотношения между старыми и новыми переменными

.

С другой стороны,

.

Поэтому

или

.

Отсюда

и, следовательно,

и

.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим:

или

.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

1°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f(x;y) дифференцируема в точке (x0; у0) некоторой области D  R2. Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями х = х0 и у = у0 (рис. 11).

Рис. 11

Плоскость х = x0 пересекает поверхность S по некоторой линии z0(y), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z = =f(x;y) вместо х числа x0. Точка M0 (x0;y0,f(x0;y0)) принадлежит кривой z0(y). В силу дифференцируемой функции z в точке М0 функция z0(y) также является дифференцируемой в точке у =у0. Следовательно, в этой точке в плоскости х = х0 к кривой z0(y) может быть проведена касательная l1.

Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у0, построим касательную l2 к кривой z0(x) в точке х = x0- Прямые 11 и 12 определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М0.

Составим ее уравнение. Так как плоскость  проходит через точку Mo(x0; y0; z0), то ее уравнение может быть записано в виде

А(х - хо) + В(у - уо) + C(z - zo) = 0,

которое можно переписать так:

z-z0 = A1(x – х0) + B1(y – у0) (1)

(разделив уравнение на -С и обозначив ).

Найдем A1 и B1.

Уравнения касательных 11 и 12 имеют вид

соответственно.

Касательная l1 лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек l1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B1, получим, что .Проводя аналогичные рассуждения для касательной l3, легко установить, что .

Подставив значения А1 и B1 в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности   в ее точке М(2; -1; 1).

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М

Отсюда, применяя формулы (2) и (3), будем иметь: z-1=2(х-2)+2(у+1) или 2х+2у-z-1=0 — уравнение касательной плоскости и  — уравнения нормали.

2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Если поверхность S задана уравнением F(x; у; z) = 0, то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

(4)

— уравнение касательной плоскости и

(5)

— уравнения нормали.

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности   в точке, для которой x=0, y=a.

Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив x=0, у=а в уравнение поверхности: -z3 = а3, откуда z= -а. Таким образом, точка касания есть M(0; а; -а).

Обозначив через F(х, у, z) левую часть уравнения, найдем частные производные и их значения в точке М:

Применяя формулы (4) и (5), получим: -3a²(x-0)+0(y-a)-3a²(z+a)=0 или х+z+а=0 — уравнение касательной плоскости,

или

— уравнения нормали.


Производная функции в данном направлении