Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Интегрирование полных дифференциалов

1°. Условие полного дифференциала. Для того чтобы выражение Р(х,у)dx+Q(х,у)dу, где функции P(х,y) и Q(х,у) непрерывны в односвязной области D вместе со своими частными производными первого порядка, представляло собой в области D полный дифференциал некоторой функции u(х,у), необходимо и достаточно выполнение условия .

Пример. Убедится в том, что выражение (2x+y)dx+(x+2y)dy=du=, где u — искомая функция.

По условию , следовательно, .

Но, с другой стороны, , откуда , и .

Окончательно, .

2º. Случай трех переменных. Аналогично выражение P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz, где P(x,y,z)dx, Q(x,y,z)dy, R(x,y,z)dz — непрерывные, вместе со своими частными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и z, тогда и только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(х,у,z), когда выполнены условия .

Пример. Убедится в том, что выражение  есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.

Решение. Здесь P=3x²+3y-1, Q=z²+3x, R=2yz+1. Устанавливаем, что

и, следовательно, , где u — искомая функция.

Имеем: , значит .

С другой стороны,

откуда  и . Задача сводится к отысканию функции двух переменных (у,z), частные производные которой известны и выполнено условие полного дифференциала. Находим :

т. е. . Окончательно, u=x²+3xy-x+yz²+z+C.

 

Дифференцирование неявных функций

1°. Случай одной независимой переменной. Если уравнение f(х,у) =0, где f(х,у) — дифференцируемая функция переменных х и у, определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функции при условии, что f'y(х, у)≠0, может быть найдена по формуле

.

(1)

Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).

Пример. Найти  и , если (x²+y²)³-3(x²+y²)+1=0.

Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f(х,y) найдем частные производные

f'x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f'y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Отсюда, применяя формулу (1), получим:

.

Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:

.

2°. Случай нескольких независимых переменных. Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0, где F(х, у, z) — дифференцируемая функция переменных х, у и z, определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам

.

(2)

Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0, получим:

.

Отсюда можно определить dz, а следовательно,  и .

Пример. Найти  и , если x² - 2y²+3z² - yz+y=0.

Решение.

1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z), найдем частные производные F'x(x,y,z)=2x, F'y(x,y,z)=-4y-z+1, F'z(x,y,z)=6z-y.

Применив формулы (2), получим:

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:

2х dx-4y dy+6z dz-y dz-z dy+dy=0

Отсюда определяем dz, т. е. полный дифференциал неявной функции:

.

Сравнивая с формулой , видим, что

.

3°. Система неявных функций. Если система двух уравнений

определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан

,

то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений

(3)

Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у; найти .

Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:

отсюда

.

Аналогичным образом найдем:

.

2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du+dv=dx+dy, x du+u dx+y dv+v dy=0.

Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv, получим:

.

Отсюда

4°. Параметрическое задание функции. Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и

,

то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений

(4)

Зная дифференциал dz=p dx+q dy, находим частные производные  и .

Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Найти   и .

Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:

Из первых двух уравнений определим du и dv:

.

Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv:

.

Отсюда

.

2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:

(5)

Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у:

Из первой системы найдем: .

Из второй системы найдем: .

Подставляя выражения  и  в формулу (5), получим:

Замена переменных

При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.

1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.

Пример. Преобразовать уравнение

,

полагая .

Решение. Выразим производные от у по х через производные от у по t. Имеем:

,

.

Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:

или

.

Пример. Преобразовать уравнение

,

приняв за аргумент у, а за функцию х.

Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.

;

.

Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:

,

или, окончательно,

.

Пример. Преобразовать уравнение

,

перейдя к полярным координатам

x=r cosφ, y=r cosφ.

(1)

Решение. Рассматривая r как функцию φ, из формул (1) получим:

dх = соsφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

отсюда

.

Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и , будем иметь:

,

или, после упрощений, .


Производная функции в данном направлении