Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора Дизайн интерьера Днепропетровск цены источник.

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении. Производной функции z=f(x,y) в данном направлении  называется , где  и  — значения функции в точках  и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

,

(1)

где   - угол, образованный вектором l с осью ОХ (рис. 9).

Аналогично определяется производная в данном направлении l для функции трех аргументов u=f (x,y,z). В этом случае

,

(2)

где   — углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Рис. 9

Пример. Найти производную функции z = 2х2 — Зу2 в точке P(1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P:

Здесь cos = cos 120º = - ½,

sin = sin 120º = .

Применяя формулу (1), получим:

.

Знак минус показывает, что функции в данной точке и в данном направлении убывает.

2º. Градиент функции. Градиентом функции z=f (x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции:

.

(3)

Производная данной функции в направлении l связана с градиентом функции формулой , т. е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т. е. при l=grad z производная  принимает наибольшее значение, равное .

Аналогично определяется градиент функции трех переменных u=f(x,y,z):

.

(4)

Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Пример. Найти и построить градиент функции z=x²y в точке Р(1;1).

Рис. 10

Решение. Вычислим частные производные и их значения в точке Р.

Следовательно, grad z=2i+j (рис. 10).

 

Производные и дифференциалы высших порядков

1°. Частные производные высших порядков. Частными производными второго порядка функции z=f(х,у) называются частные Производные от ее частных производных первого порядка.

Для производных второго порядка употребляются обозначения

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример. Найти частные производные второго порядка от функции .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:

Теперь дифференцируем вторично:

Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно найти и иначе, а именно: .

2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка функции z=f(х, у) называется дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции d²z=d(dz).

Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше второго, например: d³z=d(d²z) и, вообще, .

Если z=f(х,у), где х и y — независимые переменные, то дифференциал 2-го порядка функции г вычисляется по формуле

.

(1)

Вообще, справедлива символическая формула

,

которая формально развертывается по биномиальному закону.

Если z=f(х,у), где аргументы х и у суть функции одного или нескольких независимых переменных, то

.(2)

Если х и у — независимые переменные, d²x=0, d²y=0 и формула (2) становится тождественной формуле (1).

Пример. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции .

Решение. 1-й способ. Имеем: .

Поэтому .

Далее, .

2-й способ. Дифференцированием находим:

.

Дифференцируя ещё раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у, получим:

.


Производная функции в данном направлении