Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Полный дифференциал функции

Полное приращение функции.

Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у).

Полным приращением функции z=f(х,у) называется разность .

2°. Полный дифференциал и дифференцируемость функции.

Составим полное приращение функции в точке М:.

Функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и   при .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z = f(х; у), линейная относительно   и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

. (2)

Выражения  и в равенстве (1) называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают  и . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

. (3)

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = f(x; у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные  и , причем  = А, = В.

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=(x;у) имеет непрерывные частные производные  и  в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке.

Примем теоремы без доказательства.

Отметим, что для функции у = f(x) одной переменной существование производной f '(x) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z = f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx=Δx и dy=Δy. Полный дифференциал функции z=f(x,y) вычисляется по формуле

.

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u=f(х, у, z) вычисляется по формуле

.

Пример. Для функции  найти полное приращение и полный дифференциал.

Решение.

3°. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям.

При достаточно малых |Δх| и |Δу|, а значит, при достаточно малом   дифференцируемой функции z=f(х,у) имеет место приближенное равенство

Δz ≈ dz

или

.

Так как полное приращение , равенство  можно также переписать в следующем виде:

.

Данной формулой пользуются при приближённых вычислениях.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

Пример. Вычислить приближенно 1,023,01.

Решение: Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 1,023,01 = , где  = 1,  = 0,02,  = 3,  = 0,01.

Воспользуемся выведенной формулой, предварительно найдя  и .

Следовательно,

1,023,01  13+3• l3-1• 0,02+l3• ln 1• 0,01,

т. е. 1,023,01  1,06.

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:

1,023,01  1,061418168.

Пример 3. Высота конуса H=30 см, радиус основания R=10 см. Как изменится объем конуса, если увеличить Н на 3 мм и уменьшить R на 1 мм?

Решение. Объем конуса равен . Изменение объема заменим приближенно дифференциалом

 

Дифференцирование сложных функций

1°. Случай одной независимой переменной. Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t: , то производная сложной функции  может быть вычислена по формуле

.

(1)

В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то "полная" производная функции z по х будет:

.

(2)

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример. Найти частную производную  и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f(x;y) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема. Если z == f(x; у) — дифференцируемая в точке М(х;у)D функция и х = x(t) и у =y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) == f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

(3)

Частный случай:z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

или

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) — сложная функция независимых переменных и и v. Ее частные производные   и  можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

(4)

Аналогично получаем:

(5)

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти  и , если z=f (x,y), где x=uv, .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция  зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

, т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.


Производная функции в данном направлении