Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Полярные координаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(j), a £ j £ b. Предположим, что r(j) и r'(j) непрерывны на отрезке [a, b].

Если в равенствах х = r cosj, у = r sinj, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол j, то кривую АВ можно задать параметрически

Применяя формулу (15), получаем .

Пример Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosj).

Решение:

Кардиоида r = a (1 + cosj) имеет вид, изображенный на рисунке 14. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Рис. 14.

Таким образом, . Значит, l = 8а.

 

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Основные понятия

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

1°. Понятие функции нескольких переменных. Функциональные обозначения.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x; у) D сопоставляет одно и только одно число zR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде

z =f(х; у)

или

f : DR.

При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов. Множество D=D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается Е(f) или Е.

Функцию z = f(х;у), где (х;у)  D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. Значение функции z=f(x; у) в точке Мо(хо;yо) обозначают zо = f(xоyо) или zо = f(Мо) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке Мо(xо; yо) области D в системе координат Охуz соответствует точка М(хо; уо; zо), где zо = f(хо;уо) — аппликата точки М. Значение функции г=f(х, y) в точке Р, т.е. при х = а и у = b, обозначается f(а, b) или f(Р). Геометрическим изображением функции z=f(х, у) в прямоугольной системе координат X, У, Z, вообще говоря, является некоторая поверхность

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S == ху. Областью определения этой функции является множество {(х; у) | х > 0, у > О.

Пример. Выразить объем конуса V как функцию его образующей х и радиуса основания у.

Решение. Из геометрии известно, что объем конуса равен

где h — высота конуса. Но  Следовательно,

Это и есть искомая функциональная зависимость.

2°. Область существования функции. Под областью существования (определения) функции z=f(x,y) понимается совокупность точек (х,у) плоскости ХОУ, в которых данная функция определена (т. е. принимает определённые действительные значения) В простейших случаях область существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть координатной плоскости ХОУ, ограниченную одной или несколькими кривыми (граница области). Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Аналогично для функции трех переменных u=f (х, у, z) областью существования функции будет служить некоторый объем в пространстве ОХYZ.

Пример. Найти область существования функции

Решение. Первое слагаемое функции определено при  или . Второе слагаемое имеет действительные значения, если , т. е. в двух случаях: при   или при .

Область существования всей функции изображена на рис. 4 и включает границы области.

Непрерывность

1°. Предел функции.

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству < называется -окрестностъю точки Мо(хо;уо). Другими словами, -окрестность точки Мо — это все внутренние точки круга с центром Мо и радиусом  (рис. 6).

Рис. 6

Пусть функция z = f(х; у) определена в некоторой окрестности точки Мо(хо;уо), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = f(х;у) при х хо и у уо или, что то же самое, при М(х;у) М0(хо;уо), если для любого  > 0 существует  > О такое, что для всех хх0 и уy0 и удовлетворяющих неравенству < выполняется неравенство

|f (x; у) — А <.

Записывают:

f (x;y) или f (M).

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х  х0 по двум направлениям: справа и слева!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число  > 0, найдется -окрестность точки Мо(хо;уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Мо, аппликаты соответствующих точек поверхности z =f(x; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .

Пример. Найти предел .

Решение: Будем приближаться к О(0; 0) по прямой у=х, где — некоторое число. Тогда

.

Функция  в точке О(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных значениях  предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции f(М) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке Мо этого множества пределы А и В соответственно, то и функции f(М) ± g(М), f(М) • g(М),  имеют в точке Мо пределы, которые соответственно равны

A  B, A  B, (B  0).

2°. Непрерывность и точки разрыва.

Функция z = f(х; у) (или f(М)) называется непрерывной в точке Мо (хо; уо), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке Мо, т. е.

или

.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=f(x; у) могут образовывать целые линии разрыва, а иногда и более сложные геометрические образы. Так, функция  имеет линию разрыва у = х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z=f(х;у) в точке. Обозначим ,, . Величины и называются приращениями аргументов x и y, а — полным приращением функции f{х; у) в точке Мо(x0;y0).

Функция z =f/(х;у) называется непрерывной в точке Мо(x0;y0) D, если выполняется равенство , т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям.

Пример. Найти точки разрыва функции

Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но х2 - y = 0 или у = х² уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу у = х².

3°. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной. Предварительно уточним понятие области.

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Рис. 7

Точка N0 называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой области (рис. 7). Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается. Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной — -окрестность точки Мо(хо;уо).

Теорема. Если функция z = f (N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:

а) ограничена, т. е. существует такое число R > О, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство |f (N)| < R;

б) имеет точки, в которых принимает наименьшее  и наибольшее М значения;

в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между  и M.

 

Частные производные

1°. Определение частных производных.

Пусть задана функция z = f(х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение ; сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается . Итак,

=.

Аналогично получаем частное приращение z по у:

 = .

Полное приращение  функции z определяется равенством

  = .

Если существует предел

,

то он называется частной производной функции z =f(х; у) в точке М(х; у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по x; в точке Мо(x0;y0) обычно обозначают символами

(x0;y0), f .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x;у) по переменной у:

=

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(х; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример. Найти частные производные функции

Решение:

Пример. Найти частные производные функции .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:

.

Аналогично, рассматривая x: как постоянную, будем иметь;

.

2°. Теорема Эйлера. Функция f (х, y) называется однородной функцией измерения n, если для любого действительного множителя k имеет место равенство .

Целая рациональная функция будет однородной, если все члены её одного и того же изменения. Для однородной дифференцируемой функции измерения п. справедливо соотношение (теорема Эйлера):

.

3°. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Графиком функции z = f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(х;у0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что , где  — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z=f(х;у0) в точке Мо(х0;у0;f(х0;у0)) (рис. 8).

Рис. 8

Аналогично,

4°. Частные производные высших порядков

Частные производные  и  называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (x;y)  D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так   (или ).

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

z = х4 - 2х2у3 + у5 + 1.

Решение: Так как  и , то

,

Оказалось, что

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для z = f(х;у) имеем:


Производная функции в данном направлении