Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(x) ³ 0, отрезком а £ х £ b и прямыми х = а и х = b (см. рис.). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х Î [а, b]), есть круг с радиусом у = f(x). Следовательно, S(х) = p у2. Применяя формулу (16) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции х = j(у) ³ 0 и прямыми х = 0, у = с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой, равен

.

Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , х = 0,  вокруг оси Оу

Решение:

.

 

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Если известны площади S сечений какого-либо тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), а £ х £ b, то объем V этого тела можно найти по формуле

(16)

Данная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример. Найти объем эллипсоида .

Решение:

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (-а £ х £ а), получим эллипс (см. рис. 15):

.

Площадь этого эллипса равна

.

Рис. 15.

Поэтому, по формуле (16), имеем

 

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(x) ³ 0, где х Î [а, b], a функция у = f(x) и её производная у' = f'(x) непрерывны на этом отрезке.

Тогда площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох вычисляется по формуле

.

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = у(t), t1 £ t £ t2, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

.

Пример Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение:

Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности , -R £ х £ R, вокруг оси Ох. По формуле (19) находим

.

Пример. Дана циклоида  0 £ t £ 2 p.

Найти площадь поверхности, образованной вращением её вокруг оси Ох.

Решение:

При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

,

т.e. . Следовательно, .

 

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(x), где, а £ х £ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у = f(x) и ее производная y¢ = f¢(x) непрерывны на отрезке [а, b], то кривая АВ имеет длину, равную

или в сокращённой записи

.

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

  a £ t £ b,

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и x(a) = а, x(b) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

.

Пример. Найти длину окружности радиуса R.

Решение:

Найдем   часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0) (см. рис. 13). Так как , то

.

Рис. 13.

Значит, l = 2p R. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х = R cos t, у = R sin t (0 £ t £ 2p), то

.


Производная функции в данном направлении