Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

 

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственный интеграл I рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; +¥). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

  = .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл  сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл   расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-¥; b]:

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

, где с – произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция f(x) ³ 0 на промежутке [а; +¥) и интеграл  сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1)   =  = - (0 - 1) = 1, интеграл сходится;

2)   = , интеграл расходится, так как при a ® - ¥ предел  не существует.

3) , интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Признаки сходимости.

1. Если на промежутке [а; +¥) непрерывные функции f(x) и j(х) удовлетворяют условию 0 £ f(x) £ j(х), то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

Пример Сходится ли интеграл ?

Решение:

При x ³ 1 имеем,  Но интеграл  = 1 сходится. Следовательно, интеграл  также сходится (и его значение меньше 1).

2. Если существует предел  = k, 0 < k < ¥ (f(x) > 0 и j(x) > 0), то интегралы  и  одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример. Исследовать сходимость интеграла .

Решение:

Интеграл  сходится, так как интеграл  сходится и

.

 

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b] и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают .

Таким образом, по определению,

=.

Если предел в правой части существует, то несобственный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл  расходится.

Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то полагают

=.

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

  =  + .

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода   (разрыв в точке x = b) можно толковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример. Вычислить

Решение:

При х = 0 функция у =  терпит бесконечный разрыв;

  = ,

 

Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

Пусть на промежутке [а; b] функции f(x) и j(х) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 £ f(x) £ j(х). Из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  вытекает расходимость интеграла .

Пусть функции f(x) и j(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел   = k, 0 < k < ¥, то интегралы  и  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример. Сходится ли интеграл ?

Решение:

Функция f(x) =  имеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию j(х) = . Интеграл

расходится. И так как

,

то интеграл  также расходится.


Производная функции в данном направлении