Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Наибольшее или наименьшее значение функции многих переменных.

При нахождении наибольшего и наименьшего значений (т.е. глобального максимума и минимума) функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, следует иметь в виду, что эти значения достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Задача нахождения максимумов и минимумов функций многих переменных значительно сложнее аналогичной задачи для функций одной переменной. Даже в самых простых случаях чисто технические проблемы могут вызвать значительные трудности.

Задаче нахождения подобных экстремумов посвящен специальный раздел математики — вариационное исчисление. В последние десятилетия бурное развитие переживает комплексная научная дисциплина — исследование операций, посвященная поиску оптимальных решений в различных, в том числе и экономических, задачах, в которых исследуемая (целевая) функция нескольких переменных принимает наибольшее или наименьшее значение.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция , аргументы  и  которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.

Точка называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство  ().

На рис. изображена точка условного максимума . Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции  (на рис. это точка .

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи  удалось разрешить относительно одной из переменных, например выразить  через : . Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим , т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .

Пример. Найти точки максимума и минимума функции при условии .

Решение. Выразим из уравнения  переменную через переменную  и подставим полученное выражение  в функцию . Получим  или . Эта функция имеет единственный минимум при . Соответствующее значение функции . Таким образом,  — точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи  оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается. Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных .

Эта функция называется функцией Лагранжа, а  - множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Пример. Найти точки экстремума функции при условии , используя метод множителей Лагранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

 

Ее единственное решение . Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3; 1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция  имеет условный минимум.

В случае, если число переменных более двух, может рассматриваться и несколько уравнений связи. Соответственно в этом случае будет и несколько множителей Лагранжа. Мы не рассматриваем здесь достаточные условия условного экстремума. Отметим только, что во многих задачах критическая точка функции Лагранжа оказывается единственной и соответствует не только локальному, но и глобальному условному минимуму или максимуму.

Метод наименьших квадратов.

Пусть зависимость между двумя переменными и выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п. Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными и , т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости от , исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы .

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

Задача нахождения эмпирических формул разбивается на два этапа. На первом этапе нужно установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. Предположим, например, что результаты экспериментальных исследований нанесены на плоскость (паре чисел  соответствует точка с такими же координатами). Разумеется, существует множество кривых, проходящих через эти точки. Для продвижения к цели обычно предполагают, что кривая истинной зависимости — это наиболее «гладкая» кривая, согласованная с эмпирическими данными. Для проверки правильности вывода проводятся дополнительные исследования, т.е. производится еще ряд одновременных измерений величин и . Дополнительные точки наносятся на плоскость. Если они оказываются достаточно близкими к выбранной кривой, то можно считать, что вид кривой установлен. В противном случае кривую надо скорректировать и вновь провести дополнительные измерения.

Предположим, первый этап завершен — вид функции установлен. Тогда переходят ко второму этапу — определению неизвестных параметров этой функции. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции/(х) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок , или отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле , от соответствующих опытных значений , т.е.

   

была минимальной.

Следует отметить, что в качестве величины отклонения эмпирических точек от точек сглаживающей экспериментальную зависимость кривой  в принципе можно было взять обычную сумму невязок  или сумму их абсолютных величин , делать это нецелесообразно, так как в первом случае может быть малой или даже равняться нулю при значительном разбросе эмпирических точек, так как положительные отклонения компенсируются отрицательными.  Во втором случае функция  лишена этого недостатка, но имеет другой — она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

Пусть в качестве функции  взята линейная функция  и задача сводится к отысканию таких значений параметров и , при которых функция

  

принимает наименьшее значение. Заметим, что функция  есть функция двух переменных и  до тех пор, пока мы не нашли, а затем зафиксировали их «наилучшие» (в смысле метода наименьших квадратов) значения, а   — постоянные числа, найденные экспериментально.

Таким образом, для нахождения прямой, наилучшим образом согласованной с опытными данными, достаточно решить систему

  

После алгебраических преобразований эта система принимает вид:

  

Эта система называется системой нормальных уравнений.  Она имеет единственное решение, так как ее определитель

  

 (a точнее , что можно доказать методом математической индукции при ).

Найденные значения дают минимум функции . Найдем частные производные

  

Выражение  в силу изложенного выше и , следовательно, согласно достаточному условию функция имеет единственную точку минимума, определяемую из системы нормальных уравнений. Заметим, что в этой точке функция имеет не просто локальный минимум, но наименьшее значение (глобальный минимум).

 

Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов

Первообразная функция

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x)= F2(x) + C.

Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.


Производная функции в данном направлении