Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Числовые ряды

Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

Решение. Имеем

Исследуем сходимость ряда по признаку Даламбера:

Следовательно, ряд расходится.

Степенные ряды

7.1. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение. Согласно признаку Даламбера искомый ряд сходится при тех значениях х, для которых:

т.е.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При   получаем числовой ряд

Это знакочередующийся ряд, для которого

т.е. по признаку Лейбница ряд расходится.

При   имеем числовой ряд с положительными членами

который расходится, так как предел общего числа не равен нулю.

Итак, область сходимости данного ряда

Задания контрольной работы

1. Найти частные производные  функций:

а) ;

б) .

2. Найти дифференциал  функции

3. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке .

4. Для функции  в точке  найти градиент и производную по направлению .

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области, заданной неравенствами:

6. Найти общее решение уравнения

7. Скорость роста банковского вклада пропорциональна величине вклада. Коэффициент пропорциональности равен m. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла n миллионов рублей.

8. Решить задачу Коши: .

9. Решить задачу Коши: .

10. Изобразить и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

 и .

11. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами .

12. Найти область сходимости степенного ряда

 

Интегрирование по частям.

Пусть и   — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала  

или

.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла

 .

Пример. Найти .

Положим  Тогда  и  Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

   

Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь  Тогда  Следовательно,

  

Пример. Построить график функции .

Решение. Сечения поверхности  плоскостями, параллельными координатным плоскостям   и , представляют параболы (например, при  , при   и т.д.). В сечении поверхности координатной плоскостью , т.е. плоскостью , получается

окружность . График функции представляет поверхность, называемую параболоидом.

Как видно, график функции двух переменных — значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно .

Число   в этом случае называется уровнем.

На рис. изображены линии уровня, соответствующие значениям  и . Как

видно, линия уровня  состоит из двух непересекающихся кривых. Линия  — самопересекающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и

меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы.

Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение

графиков самих функций.

Пример. Построить линии уровня функции .

Решение. Линия уровня  — это кривая на плоскости , задаваемая уравнением

  или . Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом .

Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции , достигаемому в точке (0; 1). Линии уровня - концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом , причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен.

Пределы и непрерывность функции нескольких переменных (ФНП).

Число  называется пределом функции  при  и  (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  найдется положительное число  (зависящее от , ), такое, что для всех точек  отстоящих от точки  на расстояние , меньшее, чем  (т.е. при ), выполняется неравенство .

Обозначается предел так: .

Как правило, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке — а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Функция   называется непрерывной в точке , если она: 1) определена в точке ; 2) имеет конечный предел при , ; 3) этот предел равен

значению функции в точке , т.е. .

Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке представляет собой сплошную, не расслаивающуюся поверхность.

Частные производные.

Дадим аргументу  приращение , аргументу — приращение . Тогда функция  получит наращенное значение . Величина  называется полным приращением функции в точке . Если задать только приращение аргумента  или только приращение аргумента

, то полученные приращения функции соответственно  и  называются частными. Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е. .

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: , , , ,  и .

Таким образом, для функции по определению

 

 

Геометрический смысл частных производных функции  в точке  показан на рис.

, .

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной   надо считать постоянной переменную , а для нахождения — переменную . При этом сохраняются известные правила дифференцирования.

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

 

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде

,

где  — дифференциал функции,   - бесконечно малые при .

Таким образом, дифференциал функции двух переменных, как и в случае одной переменной, представляет главную у линейную относительно приращений   и , часть полного приращения функции.

Следует отметить, что для функции одной переменной  существование конечной производной  и представление приращения функции в виде , являются равнозначными утверждениями, и любое из них могло

быть взято за определение дифференцируемости функции. Для функции нескольких

переменных существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Если частные производные функции  и  существуют в окрестности точки  и непрерывны в самой точке , то функция  дифференцируема в этой точке.

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки ,  — некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где  (или );  — косинусы углов, образуемых вектором  с осями координат и называемые направляющими косинусами.

При перемещении в данном направлении  точки  в точку  функция  получит приращение , называемое приращением функции  в данном направлении .

Если , то, очевидно, что  , следовательно,

.

Производной  по направлению  функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения  при стремлении последней к нулю, т.е. .

Производная  характеризует скорость изменения функции в направлении .

Очевидно, что рассмотренные ранее частные производные  и  представляют производные по направлениям, параллельным соответственно осям  и . Нетрудно показать, что .

Градиентом  функции  называется вектор с координатами .

Рассмотрим скалярное произведение вектора  и единичного вектора . Получим .

Таким образом , т.е. производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего это направление.

Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция  и пусть в точке  величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Таким образом, линии уровня можно построить следующим образом. Предположим, мы начинаем с точки . Построим градиент в этой точке. Задаем направление, перпендикулярное градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее

рассмотрим близкую точку  и построим градиент в ней. Продолжая этот процесс,

можно (с определенной погрешностью) построить линии уровня.


Производная функции в данном направлении