Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Дифференциальные уравнения первого порядка

Найти общее решение уравнения:

Решение. Разделив уравнение на х

получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое сведем к уравнению с разделяющимися переменными введением функции , отсюда  и

Подставим в исходное уравнение  или  или , или  Разделяем переменные  Числитель делим почленно на знаменатель и интегрируем

  или

Все интегралы табличные, тогда

 или

Подставляем сюда , получим

  или

Это и будет общее решение исходного дифференциального уравнения.

3.2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна величине вклада. Коэффициент пропорциональности равен 3. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 2 миллиона рублей.

Решение. Если величину вклада обозначить через J = J(t), где t – время, то скорость роста вклада есть производная, т.е.  и она пропорциональна величине вклада J с коэффициентом пропорциональности, равным 3, т.е. .

Разделяем переменные и интегрируем

  или ,

ln J = 3t + C или J = e3t + C.

В начальный момент времени, т.е. при t = 0 начальный вклад J0 = 2 млн. руб. Тогда

J0 = e3 · 0 + C; eC = 2 и C · ln e = ln 2, т.е. C = ln 2.

Окончательно: J = e3t + ln2 или J = 2e3t.

Линейные уравнения высших порядков

4.1. Решить задачу Коши:

  (a)

Решение. Находим общее решение однородного дифференциального уравнения (дифура), соответствующего исходному дифуру (а):

  (b)

Его характеристическое уравнение  а корни  Тогда общее решение дифура (b) будет:

  (с)

Частное решение исходного дифура (а) берем в виде:

  (d)

тогда

подставляем в (а) и группируем: , отсюда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем:

 и ,

т.е. , а выражение (d) принимает вид:

  (е)

Суммируя (с) и (е), найдем общее решение неоднородного диф. уравнения (а):

 (f)

Найдем  и, используя начальные условия (а), имеем:

отсюда

Найденные значения С1 и С2 подставляем в (f), и тогда частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

4.2. Решить задачу Коши:

  (а)

Решение. Однородное дифуравнение

  (b)

имеет характеристическое уравнение , а его корни будут . Тогда общее решение дифура (b) будет:

  (с)

Частное решение дифура (а) ищем в виде:

  (d)

Определив  и  и подставив в (а), после группировки имеем

отсюда  или   и  Подставляя А и В в (d) и суммируя с (с), найдем общее решение дифура (а):

(е)

Найдем  и, используя начальные условия (а), имеем

отсюда

Подставляя найденные С1 и С2 в (е), будем иметь решение исходного дифференциального уравнения (а), удовлетворяющего начальным условиям:

Двойной интеграл

5.1. Изобразить и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

  и .

Решение. Построим две параболы и найдем точки пересечения:

отсюда  или , его корни x1 = 4, x2 = 12. На чертеже (рис. 2) изображена заштрихованная фигура, площадь которой определяем:

  (кв. ед.)

Рис. 2


Производная функции в данном направлении