Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные  функций:

а)

Находим:

б)

Находим:

1.2. Найти дифференциал  функции:

Полный дифференциал определяется как:

Найдем частные производные:

Тогда полный дифференциал будет равен:


Приложения частных производных

2.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности   в точке .

Решение. Проверим, принадлежит ли точка М поверхности:

следовательно, точка М принадлежит поверхности.

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

Найдем значения частных производных в точке М:

и подставим в уравнение касательной плоскости:

  или

Уравнение нормали берем в виде:

или  или

2.2. Найти градиент и производную  функции  в точке

Решение. Градиент функции  равен:

Найдем частные производные:

и их значения в точке :

.

Тогда градиент в точке А равен:

Производная функции z в направлении вектора  вычисляется по формуле:

Найдем направляющий косинус вектора :

тогда

Следовательно,

2.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области D, заданной неравенствами:

Решение.

а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума):

Стационарная точка  лежит в замкнутой области, так как:

Найдем вторые частные производные:

и их значения в стационарной точке М(2;2):

Так как , то в точке М функция имеет экстремум, а именно минимум, так как

б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 1)

Рис.1

Рассмотрим контур (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной:  Исследуем ее на экстремум:

Из  имеем   или . И так как

то имеем минимум и

Далее рассмотрим контур  или (прямая АВ). Имеем:

или

Найдем  и из   имеем  или .

Так как  то при  имеем минимум и

На контуре  или  (прямая ОВ) имеем  или  Находим производную  приравниваем ее к нулю  или , отсюда

Так как , то в точке имеем минимум и

Найдем значение функции z в точках О(0;0), А(0;6) и В(4;2):

Из найденных значений  выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что


Производная функции в данном направлении