Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

1 случай. Метод параллельных сечений.

Пусть для некоторого тела известна площадь  любого сечения этого тела плоскостью, перепендикулярной к оси  (рис. 13).

Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от : . Пусть  непрерывная функция. Проведем плоскость, перепендикулярную оси  через тточку деления отрезка .

Эти плоскости разобьют тело на слои. На каждом частичном промежутке   возьмем произвольную точку  и заменим каждый слой цилиндром с высотой  и основанием . Объем каждого такого цилиндра равен . Тогда объем всего ступенчатого тела будет равен сумме объемов . Так как  есть непрерывная функция, то существует конечный предел

,

Который называется объемом тела , т.е.

.

Пример 19. Найти объем теола, образованного поверхностью , .

Решение. Построим это тело (параболоид, отсеченный плоскостью ) (рис. 14).

Проведем сечение через произвольную точку . Сечением будет круг радиуса , уравнение сечения .

Известно, что площадь круга равна , следовательно, площадь сечения, проведенного через произвольную точку , равна

.

Тогда

.

Ответ:  (куб. ед).

2 случай. Вычисление объема тела вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции , осью  и прямыми , , вращается вокруг оси  (рис. 15).

В этом случае произвольное сечеине тела плоскостью, перпендикулярной к оси , есть круг радиуса , площадь которого

.

Тогда

.

Если кривалинейная трапеция, ограниченная непрерывной функцией , осью  и прямыми  и , вращается вокруг оси , то объем полученногго тела вращения можно вычислить

.

Пример 20. найти объем тела, образованного вращением вокруг оси   параболы , ограниченной прямой  (рис. 16).

Решение. Объем тела вращения вокруг оси  вычислим по формуле

.

В нашем примере , .

Следовательно,

.

Ответ:  (куб. ед).

ПРИБЛИЖЕНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Не для всякой непрерыной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интеггралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы вычисления определенных интегралов.

Разделим отрезок интегрирования на четное число частей  сущность метода парабол состоит в том, что площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам  и  и ограниченной заданной кривой , заменяется площадью такой криволинейной трапецией, которая сверху ограничена параболой, проходящей через 3 точки (рис. 17): , , .

Площадь параболической трапеции на отрезке  будет равна

,

т.е. мы имеем приближенное равенство

и на каждом отрезке

Просуммировав площади параболических трапеций, будем иметь

.

Это и есть формула Симпсона.

Пример. Вычислить интеграл .

Данный интеграл от дифференциального бинома в дифференциальных функциях не вычисляется.

 Разделим отрезок интегрирования на 10 равных частей, длина частичного отрезка

Составим таблицу.

3

0,3

1,00404

7

0,7

1,11360

0

0

1

4

0,4

1,01272

8

0,8

1,18727

1

0,1

1,00005

5

0,5

1,03078

9

0,9

1,28690

2

0,2

1,00080

6

0,6

1,063283

10

1,0

1,41421

По формуле Сипсона


Производная функции в данном направлении