Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Вычисление значений функций.

Пусть f(x) является суммой ряда Тейлора ( 13 ). Необходимо с погрешностью   определить значение функции в точке х1 из области сходимости ряда (x0 – R, x0 + R). Для этого определим номер n при котором значение остаточного члена |Rn(x1)| равно указанной погрешности  и вычислим значение многочлена Тейлора Sn(x1) Экономический анализ задач с использованием графического метода Проведем экономический анализ рассмотренной выше задачи по производству мороженого.

Пр. Вычислить число е с точностью до 0,001

В разложении ( 14 ) положим х = 1 : е = 1 + 1 + 1/2! + . . . + 1/n! + . . .

Согласно ( 13 ) Rn(1) = exp()/ (n+1)! , а exp() < exp(1) < 3 , т.е. = Rn(1)< 3/(n+1)!

При n = 5 имеем < 3/6! = 1/240 > 0.001 , а при n = 6   < 3/7! = 1/1680 < 0.001

Поэтому е = 2 + ½! + 1/3! + ¼! + 1/5! + 1/6! = 2.7181 с точностью до 0,001.

Вычисление интегралов.

Подынтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора и почленно интегрируют.

Пр. Вычислить  J = dx( sin x /x) с точностью 0,001

J = dx 1/x (x – x3/3! + x5/5! – . .) = ( x – x3/3!3 + x5/5!5 - . .) |0.50 = 1/2 –1/ 233!3 + ½55!5 - .

Имеем 1/ 233!3 = 1/144 > 0.001 , ½55!5 = 1/19200 < 0.001 . Ряд знакочередующийся и по признаку Лейбница погрешность  не превосходит модуля первого из отброшенных членов, т.е. точность 0,001 обеспечивают два первых члена ряда J = 1 + 1/144 = 0.4931

Решение дифференциальных уравнений.

Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x0) = y0 , y’(x0) = y’0

Ищем решение у(х) в виде ряда Тейлора ( 13 ). Первые два коэффициента разложения y(x0) , y’(x0) нам заданы условием задачи. Третий коэффициент находим из дифференциального уравнения y’’(x0) = f(x0, y0, y’0) .  Для определения остальных коэффициентов будем последовательно дифференцировать уравнение y’’ = f(x,y,y’) и подставлять в него известные значения производных низшего порядка.

Пр. Найти первые три члена разложения для задачи Коши : y’’ = xy’ – y + ex

при начальном условии у(0) = 1, у’(0) = 0

Решение ищем в виде y(x) = y(0) + y’(0)/1! + y’’(0)/2! + . . .

y’’(0) = 0 0 – 1 + 1 = 0 ; y’’’(0) = (xy’’ + ex)| 0 = 1 ; y’’’’(0) = (y’’ + xy’’’+ ex)| 0 = 1

Ответ : y(x) = 1 + 1/3! x3 + ¼! x4

Ряды Фурье.

Существуют различные методы представления произвольной функции f(x) через более простые функции, свойства которых хорошо изучены. Так, ряд Тейлора представляет f(x) через сумму степенных функций. Если f(x) периодическая функция f(x) = f(x+T), то ее можно представить как сумму простейших тригонометрических функций типа An sin(nx +). Такое разложение по кратным гармоникам наз. гармоническим анализом и оно очень удобно при рассмотрении радиотехнических задач. Электромагнитные  волны это гармонические колебания, а всякий сложный радиосигнал это совокупность таких колебаний и его разложение на гармоники имеет реальный физический смысл.

Опр. Тригонометрическим наз. функциональный ряд из гармоник кратных частот

a0/2  + ancos nx + bnsin nx ( 19 )

где коэффициенты ряда an , bn действительные числа, nN . Рассмотрим вопрос о сходимости такого ряда. Введем определения.

Опр. Всякий функциональный рядназ. равномерно сходящимся на сегменте Х, если существует такой знакоположительный, сходящийся ряд , что |un| < vn , nN  Ряд  наз. мажорирующим по отношению к исходному.

Равномерно сходящийся на сегменте Х ряд является в пределах сегмента абсолютно сходящимся и его можно почленно интегрировать.

Таким образом, из сходимости числового ряда  следует равномерная сходимость ряда  ( 19 ), т.к. |cos nx| < 1, |sin nx|< 1. Если ряд ( 19 ) равномерно сходится, то его сумма f(x) является периодической функцией с периодом T = 2, т.к. все члены ряда имеют такой период. 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общего решения (док. для n=2). Теорема о суперпозиции решений (док. для n=2).

ЛНДУ

у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b)

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения

Док-во:

Для уравнения 2-го порядка ( но теорема применима для уравнений любого порядка)

n=2

(1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x)

Обозначим  у*(х) – частное решение ЛНДУ

(х) – общее решение ЛОДУ

Показать, что

(2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Найдем:

Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)

у*”(x) +”(x) + P1(x)[ у*(x)+’(x)] + P2(x)[ у*(x)+(x)] =

= [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [”(x) + P1(x) ’ (x)+ P2(x)  (x)] = f(x) + 0 = 0

= C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0

C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям

y(x0)=y0 , y’(x0)=y0’, для любых х0(а,в), и любых y0 ,y0’

C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0

C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0’

Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского

  W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых 0 , ’0 ,y*0 ,y*’0 , это означает у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Теорема2 принцип суперпозиции (принцип сложения решений)

Если функция yi(x) является решением ЛНДУ

(3) y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = fi(x)  то функция  = α1y1 + α2y2 + … + αnyn  , то это функция является решением y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = α1 f1(x) + α2 f2(x) + … + αn fn(x) (4)

Док-во: для n=2

Подставим y, y’, y”, в (4) , учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3)

α1y1” + α2y2” + P1(x)[ α1y1+ α2y2] =

= [α1y1” + P1(x)α1y’1 + P2(x)α1y1] + [α2y2” + P1(x)α2y’2 + P2(x)α2y2] = α1f1(x) + α2f2(x)

Вопрос : существует ли простая связь между суммой ряда ( 19 ) S(x) и коэффициентами разложения an , bn ? Ответ : да, т.к. cos nx , sin nx образуют систему ортогональных функций.

Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка.

Функции комплексной переменной. Комплексные числа.

Геометрическая интерпретация КЧ. Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a + b i соответствует точка M(a;b) на координатной плоскости или её радиус-вектор .

Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пусть z = a и a > 0 , т.е. перед числом а стоит множитель 1 = (cos 0 + i sin 0) или – 1 = (cos  + i sin).

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Непосредственное интегрирование

При непосредственном интегрировании используем следующие преобразования дифференциала:

, то есть, всегда можно добавить под знак дифференциала «нужное слагаемое » или «нужный множитель », при этом вводим компенсирующий множитель «», например, .

Эта операция называется подведение функции под знак дифференциала, нпример,

  или .

Пример 4.

.

Пример 5.

.


Производная функции в данном направлении