Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Векторный анализ.

Поверхностные интегралы. Теория поля.

Элементы дифференциальной геометрии.

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением  = (t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 . Двойственность в линейном программировании Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной. Первоначальная задача является исходной. Эти две задачи тесно связаны между собой и образуют единую двойственную пару.

Приращение радиус-вектора  = (t+t) – (t) определяет прямую проходящую через 2 точки L , которая при t0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой L задает производная d/dt = x`t i + y`t i + z`t k = (t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 , в точке  М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М0 .

Пусть L проходит по поверхности  F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех точек кривой справедливо равенство  F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Это функция от t и её производная равна нулю

Данное выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов: = 0, где  – направляющий вектор касательной к L и

 ={} ( 1 )

Поскольку    для любой линии, проходящей по поверхности через М0 ,то по определению,  является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности  F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М0. Касательная плоскость в т. М0 существует, если координаты  непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.

Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты и его направляющие косинусы

 ( 2 )

где  и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора  непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора   не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.

Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D. 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G1, G2, . . , Gm. 2) На каждом Gi выделим точку Мi , проведем через Мi касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка Gi . В результате получим плоскую фигуру Gi* с площадью Si и вся гладкая поверхность покроется «многогран- ником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к пределу 

m дает точное значение для площади криволинейной поверхности  G

 ( 3 )

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла по площади ( 3 ) совершим переход к двойному интегралу с помощью второго проектирования. Каждый плоский многоугольник Gi* имеет свой нормальный вектор i и может быть спроектирован на плоскость хОу. Отношение площадей любого многоугольника и его проекции равно косинусу угла между ними, т.е.Di /Si =сos , т.к. линейный угол между плоскостями Gi* и Di равен углу между i и Oz.

{ Пример. Сравним площади ABC и его проекции ABE. , }. Пусть Di имеет форму прямоугольника, тогда  Di = xiyi , *Si = xiyi / сos = xiyi и интегрирование по площади кривой поверхности заменяется на интегрирование по площади ее проекции, т.е. элементы площади  заменяются на элементы dxdy

 ( 4 )

Пр. Найти площадь поверхности z = x y, лежащей над кругом x2 + y2 < R2 .

Решение :  и перейдем к полярной системе координат

 

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x0 = a < x1< x2<… < xn = b

обозначим Δxk = xk-xk-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [xk-1- xk] выберем произвольным образом ξk S(ξk)= πf2(ξk) (S=πR2)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξk). Тогда объем частичного цилиндра: ΔVk = S(ξk)Δxk = πf2(ξk)Δxk 

4.

9. Понятие несобственного интеграла I рода.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (I рода) от непрерывной ф-ии y=f(x) на промежутке [a, ∞) называется предел интеграла.

I(b)= =

Интегралы и их приложения Пример Найти: а) ; б) .

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)- 16).

Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),

Задача о массе поверхности. Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z).

Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы.

Общий принцип интегрального исчисления : формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции   в точке (1, 1/5).

 ,

 

 .

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема  3. Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки , а функция  определена в некоторой окрестности точки .

Если функция f дифференцируема в точке , а в точке  существуют производные , то в точке  существует производная сложной функции , причем

 .

 Пример 7. Найдем частные производные сложной функции , где , .

 ,

.


Производная функции в данном направлении