Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E  R

Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

 M(m) R  x X  f(x) M (f(x) m).

Определение 13 . Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е. Установим теперь правило для вычисления    такого интеграла. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

 M, m R  x X  m f(x) M .

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

 x X  f(x) M (f(x) m);

 >0  x0 X: f(x0)>M- (f(x)<m+) (см. рис. 16).

Предположим, что числа (или символы ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E R имела предел при x s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Сравнение функций.

Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, >0, такие, что |f(x)| c |g(x)| при |x-a|<, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x a.

Данное определение переносится и на случай, когда x, x.

Пример 12.

Так как |1/x2|  |1/x| при |x|  1, то 1/x2 = O(1/x) при x ;

1/x = O(1/x2) при x 0 так как |1/x| 1/x2 при |x| 1.

Запись f=O(1) при x a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x a  f и g — одного порядка при x a.

Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x  0 являются бесконечно малыми одного порядка при x a , так как

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x|  3  f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x|  1  g=O(f).

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x a, если (x): f(x) =  (x)g(x), где limx a (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x a, если предел их отношения при x a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

sin x ~ x, x  0

(1)

tg x ~ x, x  0, arcsin x ~ x, x  0, arctg x~ x, x  0

ex-1~ x, x 0

ln (1+x)~ x, x 0

(2)

m-1~ mx, x 0

(3)

Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.).

Определение: Определитель Вронского (или вронскиан) функций y1,y2,…,yn – это определитель вида:

(где y1, y2, yn - ФСР C1 ,C2 ,…,Cn - const)

Определителем этой системой является определитель Вронского

Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)

 Если функции y1, y2, … ,yn - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0.

Док-во:

Так как y1, y2, … , yn - линейно зависимы, то существуют числа α1, α2, …, αn (то есть все равные нулю одновременно) такие что α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 на x(a,b)

Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений:

 α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0

 α1y1’ + α2y2’ + …+ αnyn’ = 0

 α1y1’’ + α2y2’’ + …+ αnyn’’ = 0 =>

  ……………………………..

 α1y1(n-1) + α2y2(n-1) + …+ αnyn(n-1) = 0

Система имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского.

W[y1, y2, … ,yn ] = 0 для любых Х из [а,b]

42. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ(без док.).

Если n решений y1, y2, … ,yn ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х| для любого Х из (а,b) .

Следствие:

Определитель Вронского системы решений [y1, y2, … ,yn ] не равен 0 если система линейно независима, либо 0, если система линейно-зависима.

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов. Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x a Тогда если существует предел limx af1(x)/g1(x),

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке.

Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке. Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва: Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если >0 ()>0  x E : |x-a|< |f(x)-f(a)|>.

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций. Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

Ряды.Числовые  ряды.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда  (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Радиус  сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;

Геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть  - неопределенный интеграл функции  на некотором интервале . При фиксированном значении  получим конкретную функция , для которой можно построить график, его называют интегральной кривой. Положив , получим другую функцию  с соответствующей кривой. Следовательно, неопределенный интеграл  можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых. Величина  является параметром этого семейства: каждому конкретному значению  соответствует единственная интегральная кривая в семействе.


Пример 3.   является неопределенным интегралом функции .


Производная функции в данном направлении