Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Определители и матрицы

Контрольные вопросы:

1. Определители. Правила вычисления определителей.

2. Свойства определителей п-го порядка.

3. Матрицы. Виды матриц.

4. Действия с матрицами.

5. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы.

6. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Определителем (или детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов  определителя. Рассмотрим определитель n-го порядка:

.

Алгебраическим дополнением  элемента  определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на .

Минором  элемента  определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определитель n-го порядка может быть вычислен с помощью разложения по элементам i-й строки (или j-го столбца):

(разложение определителя по элементам i-й строки),

(разложение определителя по элементам j-го столбца).

Определителем второго порядка называется число, равное

.

Определителем третьего порядка называется число, равное

.

 2. Свойства определителей п-го порядка:

10. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

20. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

30. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

40. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

50. Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

60. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

70. Если каждый элемент п-го столбца (п-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из названных слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

3. Матрицей  размера  называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

.

 

Матрица размера  называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы  образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается  или det A.

Матрица Е с элементами  называется единичной матрицей n-го порядка.

Матрица  называется обратной к матрице  (), если

 (1)

Элементы  обратной матрицы вычисляются по формулам

 (2)

где  - алгебраическое дополнение элемента  транспонированной матрицы.

Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума (доказать)

Функция z=f(x,y) имеет max в точке М0(х0,у0), если f(x0,y0)>f(x,y) для любого(х,у), достаточно близких к (.)(х0,у0) и отличных от нее.

Функция Z=f(x,y) имеет min в точке М0(х0,у0), если F(x0,y0)<f(x,y) выполняется для любых точек (х,у), достаточно близких к точке (х0,у0), но отличных от нее.

Точки максимума и минимума функции называются экстремумами функции z=f(x,y); точки в которой частные производные dz/dx=0 dz/dy=0 или не существуют называются критическими.

Т. Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от Z либо обращается в нуль при этих значениях, либо не существует.

Дадим переменному у определенное значение, именно у=у0. Тогда функция f(x,y0) будет функцией одного пременного х. Т.к при х=х0 она имеет экстремум (max или min), то следовательно (dz/dx)x=x0 y=y0 или равно нулю или не существует. Аналогично можно доказать, что (dz/dy)x=x0 y=y0 или рано нулю или не существует. Замечание: Данное условие не является достаточным условием экстремума в т. Х0, у0.

Достаточное условие: Пусть дана функция z=f(x,y)? введем следующие обозначения: a11=d2z/dx2 a12=d2z/dxdy a22=d2z/dy2 δ=

Пусть в некоторой области, содержащей (.) М0(х0,у0) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того точка М0 является критической точкой функции z=f(x,y), т.е: (df(x0,y0))/dx=0; (df(x0;y0))/dy=0, тогда при х=х0, у=у0:

f(x,y) имеет минимум, если a11>0, δ>0 (d2f(x0,y0)>0)

f(x,y) имеет максимум, если a11<0, δ>0 (d2f(x0,y0)<0)

функция F(x,y) не имеет ни максимума ни минимума, если δ<0 (d2f(x0,y0) меняет знак)

если δ=0, то экстремум в точке (х0,у0) может существовать, а может и нет

Действия с матрицами. 1. Суммой матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера, причем , , .

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса: 1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы  по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы для нахождения решения системы.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: .

Однородные системы линейных уравнений Контрольные вопросы: 1. Системы линейных однородных уравнений. 2. Фундаментальная система решений.

Предел и непрерывность. Пусть E R и a – предельная точка множества E.

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности. Определение 6 (предел функции в бесконечности). limx f(x) = A,если

 > 0  B() >0:  x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| < 

Пример 8. (Второй замечательный предел) e = limx (1+1/x)x Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.

Площадь S квадрируемой  области Рис.9.

D на плоскости xOy выражается формулой

S =

 

 Площадь F гладкой поверхности

, вычисляется 

по формуле

F =

 

В последней формуле D - проекция данной

Поверхности на плоскость xOy (рис.10). Рис. 10.

 Аналогичные формулы имеют место,

если гладкая поверхность задана уравнением , (или уравнением ): 

F1 =   (или F2 = ).


Производная функции в данном направлении