Примеры вычисления интеграла Векторный анализ Скалярное поле Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы Предел монотонной функции Применение степенных рядов
Найти объем тела Дифференциальные уравнения первого порядка Исследовать на сходимость ряды три основных метода интегрирования Несобственные интегралы Полный дифференциал функции Формула Тейлора

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Интегрирование функций нескольких переменных.

Двойной интеграл и его свойства.

Метод интегральной суммы.

Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы P = pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.

Алгоритм метода интегральной суммы.

Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .

Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =  pi

4. Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы 

Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .

Опр.  Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.

Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)  0 , которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей D1, D2, . . . , Dn, имеющих площади si . В каждой фигуре Di выделим некоторую точку () и на на высоте f() проведем над Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.

2. Объем элементарного цилиндра над Di равен f()si .

3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма

V(n) =  f()si ( 1 )

С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n, при стремлении наибольшего из диаметров Di к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса

V = lim  f()si = f(x,y) dx dy при n ( 2 )

Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.

Геометрический смысл двойного интеграла  - объем цилиндрического бруса.

Основные свойства двойного интеграла.

Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy

 т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy +g(x,y) dx dy

 т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования.  Если D = D1 + D2 , то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции  f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D

S = dx dy

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать)

Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Доказательство:

Пусть несобственный интеграл  сходится.

Рассмотрим = {f(x), если f(x)>=0

 {0, если f(x)<0

  = {0, если f(x)>0

 {f(x), если f(x)<=0

  f(x)= =

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Поверхности второго порядка. Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные  рассматриваются как константы.

ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Пример 16. Вычислим , где D - область, ограниченная кривыми   и  (рис. 6).

Решая систему ,

найдем абсциссы точек пересечения

полуокружности  и параболы: 

 .  Заметим, что множество D 

элементарно относительно оси y:

оно задается  с помощью неравенств Рис. 6.

.

Поэтому двойной интеграл может быть вычислен повторным интегрированием:

==

= .


Производная функции в данном направлении