Примеры вычисления интеграла

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 1 случай. Интегралы вида .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 1 случай. Интегралы вида .

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИННТЕГРАЛА

Интегрирование по частям Пример .

Общий принцип приложений определенного интеграла к вычислению геометрических, физических и других величин Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой  и прямыми , ,  

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками  и  

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА Пример. Найти объем теола, образованного поверхностью , .

Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциальные уравнения первого порядка Найти общее решение уравнения:

Числовые ряды Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Наибольшее или наименьшее значение функции многих переменных. При нахождении наибольшего и наименьшего значений (т.е. глобального максимума и минимума) функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, следует иметь в виду, что эти значения достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Рассмотрим три основных метода интегрирования. Непосредственное интегрирование Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида .

Интегральное исчисление функций одной переменной

Несобственные интегралы Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.

Схемы применения определенного интеграла

Объем тела вращения Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , х = 0,  вокруг оси Оу

Полярные координаты Пример Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosj).

Полный дифференциал функции

Производная функции в данном направлении. Производной функции z=f(x,y) в данном направлении  называется , где  и  — значения функции в точках  и .

Интегрирование полных дифференциалов

Замена переменных в выражениях, содержащих частные производные. Пример. Уравнение колебаний струны

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Векторный анализ. Поверхностные интегралы. Теория поля.

Скалярное поле и его характеристики.

Интегрирование функций нескольких переменных . Двойной интеграли его свойства.

Определители и матрицы Правила вычисления определителей.

Предел монотонной функции.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Вычисление значений функций.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач